Родился в 1917 году на хуторе Иващево, ныне Великолукского района Псковской области, в семье крестьянина. Окончив неполную среднюю школу, работал слесарем. Затем поступил в аэроклуб, который закончил в 1937 году. На следующий год был призван на службу в ряды Красной Армии. Окончил Одесскую военную авиационную школу лётчиков. Служил на Дальнем Востоке.

С Июля 1941 года в действующей армии. Сражался на Северо-Западном и Западном фронтах.

Старший лётчик 29-го истребительного авиационного полка Младший лейтенант А. В. Попов совершил 160 боевых вылетов, провёл 22 воздушных боя, сбил лично 3 и в составе группы 11 самолётов противника. 3 Сентября 1941 года погиб направив свой горящий самолёт на группу вражеских танков.

22 Октября 1941 года за мужество и воинскую доблесть, проявленные в боях с врагами, посмертно удостоен звания «Героя Советского Союза».

Награждён орденом Ленина. Навечно зачислен в списки воинской части. Имя героя носит школа №6 в городе Великие Луки.

В начале лета 1941 года лётчики полка летали особенно много — требовалась высокая боеготовность, поскольку японские милитаристы проявляли повышенную активность. И когда ночью полк подняли по тревоге, никто особенно не удивился: дело привычное. Быстро и четко перелетели с лётных площадок на основной аэродром. Скоро, однако, выяснилось что на этот раз дорога предстоит дальняя. Объявили приказ: разобрать самолёты, подготовить их к перевозке по железной дороге, как можно скорее. Личному составу за одну ночь подготовиться к перебазированию. И помчались эшелоны с востока на запад. Ночь 23 Июня застала их на маленькой станции, именно там лётчики и узнали, что началась война...

3 Июля эшелоны прибыли в Свердловск, где их ждал новый приказ - машины собрать и дальше уже по воздуху идти на тыловые аэродромы Северо-Западного фронта. Лётчики рвались в бой, но некоторое время им пришлось прикрывать с воздуха тыловые объекты. Самолёты противника туда залетали редко и воздушные бои почти не велись. Однако, вскоре обстановка изменилась и конец Июля выдался уже трудным.

Враг рвался к Москве, ожесточённые сражения шли на Смоленском направлении. По 4 — 5 вылетов в день делали лётчики, ежедневно дежурив на аэродроме, готовые в любой момент вылететь на перехват воздушного противника. В один из дней по тревоге поднялся в воздух младший лейтенант Юхимович и, настигнув шедший на небольшой высоте Ju-88, сбил его. Первая эта победа стала радостью для всего 29-го Краснознаменного авиаполка. А вскоре воздушные бои перестали быть редкостью.

21 Июля 1941 года полк пербазировался на Западный фронт и на второй день Попов в паре с младшим лейтенантом Л. З. Муравицким, прикрывая бомбардировщики в районе станции Новосокольники, сбили истребитель Ме-109.

8 Августа 1941 года младший лейтенант А. В. Попов вылетел в составе группы, возглавляемой командиром эскадрильи Капитаном А. А. Тормозовым, на прикрытие переправы от бомбардировщиков противника. Вскоре появились 6 Ju-88, летевших под прикрытием шестёрки Ме-109. В ходе завязавшегося боя было сбито 8 самолётов противника, в том числе один «Юнкерс» записал на свой боевой счёт Александр Попов.

К вечеру 10 Августа самолёты полка перебазировались ближе к линии фронта. Это позволило увеличить количество боевых вылетов. Чтобы не терять времени, лётчики порой и обедали прямо в кабине. Особенно рвался в воздух младший лейтенант Попов. Теперь ему почти в каждом вылете приходилось вести бои над своим родным городом — Великими Луками. Командир полка понимал его стремление и не отказывал в «лишнем» задании. Не было случая, чтобы Попов, заметив над городом самолёты противника, не сбил хоть один. Обычно он вылетал в составе звена под командой Лейтенанта Н. Н. Морозова. Неизменным напарником Попова был его боевой друг младший лейтенант Л. З. Муравицкий.

Случилось так, что горестную весть о вступлении немецких войск в Великие Луки первым узнал именно Попов: он с воздуха увидел, как вражеские танки ворвались в город. А ведь там остались его родственники. Командир полка Майор А. П. Юдаков, понимая переживания Попова, 20 Августа направил его в паре с Муравицким на засадную площадку рядом с железнодорожной станцией Великополье близ линии фронта. Отсюда Попов ночью пробрался в город и пришёл к своему дедушке. Тот сообщил, что все родственники погибли в эшелоне, разбомблённом немцами. На самом деле семья Попова при бомбежке не пострадала, но об этом дедушка не знал...

День на засадном аэродроме прошёл исключительно напряженно. Попов, Муравицкий и прилетевший утром Морозов совершили 10 вылетов, сбили 4 бомбардировщика. К концу дня противник обнаружил площадку и подверг её сильному артиллерийскому обстрелу. Вскоре к площадке подошли и немецкие танки. Морозов и Муравицкий на самолётах покинули площадку сразу, а Попову пришлось лететь на самолёте, с которого для ремонта были сняты пулемёты и капоты. Техники и механики прорывались на автостартере и автозаправщике.

25 Августа не вернулись с боевого задания Орлов и Мотылев. Летавший с ними в разведку Попов был ранен, а его самолёт получил много пробоин от зенитных снарядов. Несмотря на ранение Попов вызвался выполнить очередное задание — сбросить пакет попавшей в окружение части.

Старший летчик 29-го истребительного авиаполка младший лейтенант А. В. Попов по праву считался одним из лучших пилотов части. Он был удивительно спокойным и выдержанным пилотом, прекрасно пилотировал И-16 и высокоманевренную «Чайку» ( истребитель И-153 ), метко стрелял.
Утром 3 Сентября 1941 года из штаба Западного фронта срочно потребовали разведывательные данные о силах и месте сосредоточения танковых частей противника в районе наших 22-й и 29-й армий. Почти одновременно пришёл приказ из штаба дивизии: немедленно выслать звено в район прорыва немецких танков. Вылетело звено в составе Лейтенанта В. Хомусько и Младших лейтенантов А. В. Попова и Л. З. Муравицкого. Летели на бреющем вдоль дороги. Дождь до предела сокращал видимость, но танки всё же обнаружили. Прошли дальше в тыл. В деревне увидели ещё до 100 танков и машин.

Задание было выполнено. На обратном курсе погода немного улучшилась. Немцы подняли группу своих истребителей на перехват. В ходе боя Муравицкий сбил один Ме-109, но лётчики потеряли друг друга из вида. «Мессеры» ушли, но начала действовать зенитная артиллерия врага. На аэродром вернулся лишь самолёт Хомусько. Муравицкий, раненный в голову и лицо, посадил повреждённый истребитель, едва перетянув линию фронта.

Александр Васильевич Попов погиб, как герой, на глазах у сотен бойцов 29-й армии. Его самолёт был подожжён зенитным огнем. Лётчик, как говорилось в донесении штаба 29-й армии, «попытался перетянуть через линию фронта, но, видимо, отказал мотор. Тогда лётчик изменил решение. Он повёл горящую машину в район сосредоточения немецких танков и спикировал на них».