Родился Борис Алексеев 22 июля 1912 года в Великих Луках. Отец — Леонид Васильевич был столяром-краснодеревщиком и резчиком по дереву. Мать — Домна Венедиктовна (урожденная Григорьева) родом из Витебской губернии. В семье кроме Бориса был еще сын Николай. Проживали Алексеевы в собственном доме на Подолешенской улице (ныне ул. Первомайская).

Учился Борис в Единой трудовой школе второй ступени, открывшейся в здании бывшей женской прогимназии на той же улице. Так как у мальчика рано проявилась страсть к рисованию, посещал изокружок при городском клубе. По окончании школы Алексеев уезжает в Ленинград и поступает на рабфак при Академии Художеств, занимается у знаменитых академиков В. В. Лишева по классу скульптуры и Е. Е. Лансере по классу композиции. Неизвестно, как бы сложилась судьба у студента, если бы он не познакомился с лидером русского авангарда, художником Павлом Филоновым, не стал его горячим почитателем и не сделался активным участником филоновской «Ассоциации аналитического искусства». Очень скоро Ассоциация была признана «идеологически чуждой и приносящей вред социалистическому реализму», а ряд ее членов, в том числе и Борис Алексеев, вначале был поставлен на учет в ГПУ, затем арестован и отправлен в лагеря.

О лагерной жизни Бориса Алексеева на Беломорканале мы мало что знаем, известно только, что талант в живописи ему здорово помог. На день рождения начальника лагеря Алексеев нарисовал на картоне его портрет, крайне тому понравившийся. Это способствовало смягчению молодому заключенному лагерного режима. А в 1934 году после участия в выставке работ художников ГУЛАГА он был освобожден.

В предвоенные годы Борис Алексеев работал архитектором по строительству гидроузлов в монументальной мастерской для каналов на реке Волге. Устроиться туда ему помог его бывший преподаватель академик Лансере, получивший в это время государственный заказ на их украшение.

С началом Великой Отечественной войны художник сразу же был призван в армию, окончил ускоренное училище связи и в звании лейтенанта был отправлен на фронт. Воевал на Северо-Западном, Карельском, Степном, Втором Украинском фронтах, командуя взводом, ротой, батальоном. Войну майор Б. Л. Алексеев закончил в Праге командиром отдельного батальона связи, имея 9 боевых наград.

Вернувшись после демобилизации в 1947 году в свой родной город Великие Луки Борис Леонидович организовал в областном центре большие скульптурно-художественные мастерские, которые находились на Пионерской улице. По проектам его мастерской были украшены драмтеатр, сбербанк, ортопедический санаторий, фонтан «Каменный цветок», многоэтажные жилые дома на проспекте Ленина (все они сохранились до настоящего времени). А также изготовлены многочисленные скульптуры для великолукских парков и скверов.

После упразднения Великолукской области Алексеев некоторое время работает в домашней мастерской на веранде своего дома на Комсомольской улице. А в начале 1960-х годов уезжает с женой и детьми на постоянное жительство в Рязань. Там, руководя крупной монументальной мастерской, он делает открытие в разработке техники набора мозаики высокой прочности. Мозаичные фасады зданий работы Б. Л. Алексеева появляются в Москве, на острове Сахалин, в международном ядерном центре в Дубне, в Звездном городке, в санатории министерства обороны в Сочи и в других местах. В 1976 году Алексееву присуждают премию Совета Министров СССР. Добавим, что и один из его сыновей Николай тоже стал художником по мозаике и работал вместе с отцом.

В 1980-х годах из-за серьезной болезни бронхов врачи запрещают Борису Леонидовичу работать с вредными для здоровья материалами, даже с масляными красками. И тогда старый художник переходит к технике пастели (работа с цветными мелками и карандашами без оправы). В эти годы он увлеченно работает над проектом создания природного заповедника «Рязанская Мещера». Борис Леонидович много путешествовал по этим изумительной красоты местам Рязанщины, воспетым еще Константином Паустовским, подолгу жил на заброшенных кордонах и нарисовал целый цикл пейзажей и натюрмортов. В 1990 году по инициативе космонавта и художника Алексея Леонова выставка картин Алексеева дважды была организована в Звездном городке.

К сожалению, из-за политических событий в стране, идея Бориса Леонидовича Алексеева о создании заповедника так и не была осуществлена. Умер художник в 1994 году. Большую часть его картин вдова Зинаида Константиновна Алексеева передала на постоянное хранение Рязанской областной научной библиотеке имени Горького. Родственники Алексеева и поныне живут в Рязани и в Великих Луках.